in the same vein 同じ静脈で→同じ様子で

意味：（話し方などが）同じ様子で、同じスタイルで

＜例＞

She spoke to me in the same vein even after such a terrible argument.

（あんなにひどい議論をした後でも、彼女は今までと同じ様子で私に話しかけた。）

「vein」は血管のうち「静脈」を表す言葉であることはよく知られています。

それ以外にも、「気分」や「傾向、性格」という意味でも使われる言葉で、「in the same vein」はこれら意味の「vein」が用いられている表現と考えられます。

辞書によっては「同じやり方で」という意味で説明してある場合がありますが、「vein」という言葉は「方法」を表すものではなく、「雰囲気」「ムード」といった様子を表すものと考えましょう。

したがってこの英語表現では、人の話し方や文章での言葉遣い、または動物がエサを食べたり飼い主になつく様子が同じである、という意味で捉えるのがよいでしょう。