at the drop of a hat 帽子が落ちるとき→すぐにその場で

意味：いつでも準備ができている、すぐに

＜例＞

You cannot start your own business at the drop of a hat. You need to file an application in advance.

（すぐに開業することはできません。事前に申請書を提出する必要があります。）

この表現の起源には諸説があるようです。

ひとつは、昔は競争などが行われるとき「よーい、スタート！」の掛け声とともに、審判が帽子を地面に落とす習慣があった、というものです。

また別の説では、仕事に疲れてとても眠い、家に帰ったら帽子を取ってすぐに寝てしまうだろう、という状態から、「帽子を取って」が「即座に」を表すようになった、というものです。

いずれの場合も、「いつでも取り掛かれる状態にある」様子を表していると考えてよいでしょう。

drop には「the」、hat には「a」と使われる冠詞が異なっていますので、間違えないように覚えましょう。