go out of one's way to do ~をするために自分の道を外れる→わざわざ~する
意味:通常とは違うことをしてまで力を尽くす
<例>
I was really happy when I heard that Lisa went out of her way to bring such a lovely present.
(リサがわざわざあんな素敵なプレゼントを持ってきてくれたと聞いたとき、私はとても嬉しかった。)
この表現では「go out of one's way」を「わざわざ遠回りをする」という意味でとらえてみましょう。
遠回りをすれば余分な時間や労力を使ってしまいますが、そこまでしてでもやりたいこと、やらなければならないことをするときにこの表現が使われます。
「あることをするために遠回りをする」というこの言い方の裏には、「それくらい強く望んでいることである」とか「それくらい大変なことである」というメッセージが含まれています。
そこをイメージすると、使われている文章の意味がより深く感じ取れるでしょう。