beat a path to someone's door ～のドアへの道をたたく→～のところへどっと押しかける

意味：何かを求めて～のいる所に人がどっと押し寄せる

＜例＞

Since his reputation was established, there have always been many people beating a path to his door.

（彼の名声が確立してから、常に彼のもとに押し寄せてくる大勢の人がいる。）

「beat」という言葉には、道などを「踏みならす」という意味があります。

「beat a path」と言うと、今まで道らしい道がなかったようなところを、多くの人が歩くことで道ができてゆく様を表します。

これに「to someone's door」と続けることで、新たに道を踏みならして（＝今までにないルートを使って、何とかして）ある人の家にたどり着こうとしているイメージになります。

したがって、単にある人の家を訪れるのではなく、自分の利益になることを求めてある人の居場所へ押しかける、といった意味として使われる表現です。