keep one's head above water 水の上で自分の頭を維持する→借金なしでやっていく

意味：破産することなく、自分の力でやりくりしていく

＜例＞

I have to admit that we cannot keep our head above water any longer.

（我々が借入をせずにこれ以上続けられなくなったことを認めなければいけない。）

水の中にいて身動きができないが、何とか頭を水上に保ち、溺れずにいる、というイメージです。

したがって「収入の範囲で何とかやりくりして済ませている」という状態であって、順風満帆の稼ぎっぷりでは決してありません。

例文のような場合は、倒産に直面しているような状態であると考えてもいいでしょう。

なお、「above the water」と誤って「the」つけてしまう人がいるようですので、気を付けて覚えましょう。