go begging 物乞いに行く→余る

意味：余る、必要とされなくなる、後回しにされる

＜例＞

The stock of short-sleeve shirts seems to go begging because this summer was gone earlier than expected.

（夏が予想以上に早く終わってしまったので、半袖シャツの在庫が余りそうだ。）

「beg」はご存知の通り「（人にモノ）を乞う」が通常の使われ方ですが、この表現の場合は、「モノが人に“必要とされる”ことを求める」というイメージをもつと分かりやすいと思います。

例文では、余ってしまった半袖シャツの在庫（モノ）が、買い取ってくれる業者（必要とする人）を求めている、という状況を表しています。

また「Great jobs are still going begging right now in the financial industry.」（金融業界では今でも良いポジションが空いている。）という文章でも使われることがあります。

この場合も「（職が）余っている」という意味ではありますが、むしろ「Job vacancies are available.」という意味としてとらえたほうが分かりやすいでしょう。