give someone a blank check 無記入の小切手を渡す→自由裁量を与える

意味：自由に決定・実行する権利を与えること

＜例＞

My boss has given me a blank check to carry out this project.

（上司からこのプロジェクト遂行の権限を与えられた。）

何も記入されていない小切手。金額も支払先も記入されていない、すなわちお金の使い道をこれから決めることができる、という状態です。

何にどれだけ使うかを自由に決める、すなわち「自由裁量」ということになります。

フランス語でもこれと似た「carte blanche」という言葉があります。「白い（空欄の）カード」という意味で、同じく自由裁量を表します。

フランス語ではありますが、英語の文章でも「a carte blanche」として使うことがあり、「a blank check」と同じ意味になります。